Mayra Alejandra García Gutiérrez

EL LEGADO DE LAS MATEATICAS

el cálculo infinitesimal

Del legado de las matemáticas, el cálculo infinitesimal es, sin duda, la herramienta más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza. El cálculo infinitesimal tiene dos caras: diferencial e integral; y un oscuro interior donde, como demonios, moran los infinitos: grandes y pequeños. Los orígenes del cálculo integral se remontan, como no, al mundo griego; concretamente a los cálculos de áreas y volúmenes que  Arquímedes calculó en el siglo III a.C.. Aunque hubo que esperar mucho tiempo hasta el siglo XVII -¡2000 años! para que apareciera -o mejor, como Platón afirmaba para que se descubriera- el cálculo. Varias son las causas de semejante retraso. Entre ellas debemos destacar la inexistencia de un sistema de numeración adecuado – en este caso el decimal- así como del desarrollo del álgebra simbólica y la geometría analítica que permitieron el tratamiento algebraico -y no geométrico- de las curvas posibilitando enormemente los cálculos de tangentes, cuadraturas, máximos y mínimos, entre otros. Todo ello ocurrió esencialmente en el siglo XVII. Comenzaremos por tanto desde el principio.

Como ya es habitual comenzaremos por un filósofo. En este caso Aristóteles. Ya los griegos se habían preocupado de como tratar ese ente tan curioso -como difícil- que es el infinito. Para los griegos el infinito aparece de dos maneras distintas: lo infinitamente pequeño y lo infinitamente grande. Ya apareció de algún modo en la inconmensurabilidad de la diagonal de cuadrado; también, claro está, lo tenemos en la famosa paradoja de Zenón sobre Aquiles y la tortuga, por ello no es de extrañar que alguien intentara regularlos. Ese alguien fue nada más y nada menos que Aristóteles. Lo que hizo fue prohibir el infinito en acto «no es posible que el infinito exista como ser en acto o como una substancia y un principio», escribió, pero añadió «es claro que la negación absoluta del infinito es una hipótesis que conduce a consecuencias imposibles» de manera que el infinito «existe potencialmente […] es por adición o división». Así, la regulación aristotélica del infinito no permite considerar un segmento como una colección de puntos alineados pero sí permite dividir este segmento por la mitad tantas veces como queramos. Fue Eudoxo, discípulo de Platón y contemporáneo  de Aristóteles quien hizo el primer uso «racional» del infinito en las matemáticas. Eudoxo postuló que «toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada». Es el famoso principio de Arquímedes que éste toma prestado a Eudoxo y que sirvió a aquel para superar la primera crisis de las Matemáticas -debida al descubrimiento de los irracionales-.

No obstante, fue obviamente Arquímedes el precursor del cálculo integral aunque desgraciadamente -o quizá por suerte, quién sabe- su método se perdió y por tanto no tuvo ninguna repercusión en el descubrimiento del cálculo -recordemos que su original método «mecánico» donde además se saltaba la prohibición aristotélica de usar el infinito in acto se perdió y solo fue recuperado en 1906 como ya hemos tenido ocasión de contar en la sección dedicada a los griegos-. La genial idea de siracusano fue considerar las áreas como una colección -necesariamente infinita- de segmentos. Habrá que esperar 2000 años hasta que otro matemático -en este caso Cavalieri- volviera a usar de esa manera los infinitos. De hecho Leibniz descubrió la clave de su cálculo al ver un trabajo de Pascal donde éste usaba un método semejante.  Como primer libro de esta sección colocaremos, por tanto, la Opera Omnia de Arquímedes que ya vimos antes. Se trata de la edición de 1911 debida a Heiberg. Esta abierta justo en la página donde Arquímedes describe el método de sus infinitos segmentos para cuadrar la parábola usando una palanca y moviendo convenientemente los correspondientes segmentos hasta que ambas figuras, triángulo y parábola quedasen equilibradas.

Como ya mencionamos una razón importante de la aparición del cálculo fue la aparición de una adecuada representación para los números. Se trata de la representación decimal -cuyo primer registro escrito en el mundo occidental mostramos en la sección dedicada a las matemáticas en la península ibérica-. Junto a Viète, uno de los principales impulsores de la idea fue Simon Stevin del cual admiramos Les oubres mathematiques (Leiden, 1634) especialmente abierto en la primera página de La Disme donde Stevin desarrolla si aritmética decimal.  También Stevin uso distintos argumentos infinitesimales para calcular centros de gravedad, pero eso lo veremos más adelante. No obstante fue la necesidad de entender obras griegas difíciles como las de Arquímedes -ya en el siglo XVII se habían recuperado y se dominaban la mayoría de las obras griegas, por ejemplo admírese la preciosa edición de las obras de Arquímedes debida a Wallis (arriba a la izquierda) justamente abierta éste da su famosa estimación de Pi usando polígonos regulares inscritos y circunscritos a la circunferencia- que desembocó en el nacimiento del cálculo. Aunque también ayudó un cambio de actitud en la matemática del siglo XVII quizá influenciada por los grandes descubrimientos de todo tipo -geográficos, científicos, médicos y tecnológicos- y fué el interés de los matemáticos por descubrir más que por dar pruebas rigurosas. Ello potenció sin duda el uso del infinito sin las limitaciones aristotélicas de las que ya hemos hablado. Y finalmente, el descubrimiento de la Geometría analítica de Descartes y Fermat.

La primera parte del siglo XVII vio el nacimiento de la geometría analítica de Fermat y Descartes. La importancia de este descubrimiento consiste en que la geometría analítica permite el tratamiento algebraico de problemas geométricos, al asignar a las curvas, superficies, etc. fórmulas algebraicas que las describen y permiten su manipulación analítica. De esta forma encontrar tangentes, por ejemplo, se hacía extremadamente sencillo -basta saber calcular las derivadas como ahora sabemos- frente a los engorrosos y específicos para cada curva  procedimientos geométricos.

De los dos inventores de la geometría analítica, uno es más conocido como filósofo: Renato Descartes. Presentó su geometría junto con otros dos tratados científicos: la dióptrica y los meteoros y les preparó un prólogo que se convertiría después en uno de los libros de filosofía más conocidos de la historia: El discurso del método. El otro inventor de la geometría analítica, Pierre de Fermat, fue jurista y aficionado a las matemáticas: probablemente el mejor aficionado que ha visto la historia, sin duda superior a muchos profesionales. Intervino de hecho en todas las ramas de las matemáticas que se crearon en el siglo XVII, y no fueron pocas. Fermat no publicó, sin embargo, casi nada: sus obras aparecieron años después de su muerte editadas por su hijo. Mostraremos aquí un ejemplar de la primera edición (Leiden, 1637) del Discours de la Methode… la obra más célebre de Descartes y una de las obras filosóficas más famosas jamás escrita que como ya dijimos antes servía de prólogo a tres obras de este autor -entre las que se incluía su Geómetrie-. A la derecha podemos apreciar una de las tantas ediciones que más tarde se realizaran de la Geometría ya separada del resto de sus originales compañeras.

Otra razón no menos importante es que, como ya mencionamos, en el siglo XVII los matemáticos perdieron el miedo  a los infinitos que los griegos les habían tenido: Kepler y Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. El primer paso importante
se debe a Cavalieri -discípulo de Galileo-. Cavalieri considera áreas formadas por segmentos y volúmenes formados por trozos de áreas planas redescubriendo las bases metodológicas del método mecánico -y desconocido en aquella época- de Arquímedes. Cavalieri incluso fue más allá intentando construir una teoría de indivisibles que le permitiera, evitando los infinitos, demostrar rigurosamente sus resultados -cosa que no consiguió ya que el infinito en acto siempre acababa apareciendo en alguna parte-.  Las desventajas de su método de indivisibles -poca generalidad, debilidad lógica, excesivos razonamientos y procedimientos geométricos- fueron rápidamente superados por Torricelli, Fermat, Pascal Wallis y Roberval. Otro de los protagonistas de nuestra historia es, sin duda, Grégoire de Saint-Vicent, jesuita discípulo de Clavius al que ya encontramos en el apartado de astronomía reformando el calendario. Sus principales aportaciones las publicó en su Opus geometricum de cuya primera edición de 1647 podemos admirar un ejemplar (izquierda). En ella desarrolla un método de integración geométrico, estudia las series geométricas incluyendo diversas aplicaciones de las mismas discutiendo, como no, la conocida aporía de Zenón sobre Aquiles y la tortuga que además resolvía magistralmente argumentando que Zenón no consideró en la persecución de Aquiles que el tiempo formaba una progresión geométrica de razón 1/2 y por tanto tardaba un tiempo finito en alcanzar a la tortuga. Finalmente, una de sus aportaciones más valiosas consistió en que encontró que el área encerrada bajo una hipérbola se expresaba mediante los logaritmos. Este resultado es el que justamente podemos admirar en la foto de su obra ya mencionada.

Nuestro próximo personaje es John Wallis, miembro fundador de la Royal Society de Londres y editor de obras de Arquímedes que además escribió una Gramática inglesa -como ya antes ya había hecho Nebrija con la castellana-. Wallis aritmetizó los indivisibles de Cavalieri asignándoles valores numéricos convirtiendo de esta forma el cálculo de áreas -hasta el momento algo meramente geométrico- en cálculos aritméticos más un primitivo proceso al límite haciendo además un uso descarado del infinito -a él debemos también el símbolo que usamos actualmente, ese 8 acostado-. Es curiosa la opinión que él mismo profesaba de sus métodos: «Este procedimiento es altamente heterodoxo, pero puede verificarse mediante el bien conocido métodos de figuras inscritas y circunscritas, lo que es superfluo, porque la frecuente iteración produce náuseas al lector. Cualquier ducho en la materia puede realizar la prueba», escribió en su Arithmetica infinitorum. Usando su método aritmético, la inducción incompleta  y su intuición llegó a calcular el área de todas las parábolas generalizadas x^rcon r racional excluyendo al -1, además de una bellísima fórmula para calcular Pi

Pi = 2·2·4·4·6·6·8·8····

4      1·3·3·5·5·7·7····

Presentamos aquí una foto de la portada del libro De Algebra tractatus correspondiente a su primera edición latina de 1693 contenido en su Operum mathematicorum.  El trabajo de Wallis influyó enormemente en Newton quien aseguró que el desarrollo del binomio y otras ideas iniciales sobre el cálculo tuvieron los orígenes en el estudio que realizó del libro de Wallis en su época de estudiante en Cambridge. El mismo Wallis propone una genealogía del cálculo:
 

• Método de Exhaución (Arquímedes)
  
• Método de los indivisibles (Cavalieri)
  
• Aritmética de los infinitos (Wallis)
  
• Métodos de las series infinitas (Newton)
  

Dediquemos algún tiempo a comentar los métodos infinitesimales relacionados con el cálculo de tangentes, que junto al de áreas consituyeron la base del cálculo. En la parte central del siglo XVII, las cantidades infinitesimales, los fantasmas de cantidades desaparecidas, como alguien las llamó en el siglo XVIII, fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes áreas, volúmenes, etc.; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. 
Como hemos mencionado Saint Vincent, Pascal, Wallis, … siguieron los pasos de Kepler y Cavalieri; además de los infinitésimos cada vez usaban más fórmulas y menos dibujos: la geometría analítica cumplía su función de puente entre la geometría y el análisis. Si Isaac Barrow, el maestro de Newton en Cambridge la hubiera estudiado bien, podría haber arrebatado a su discípulo el descubrimiento del cálculo. En efecto, como ya comentamos, la geometría analítica amplió considerablemente el horizonte de las curvas geométricas. Un ejemplo de tales fue el logaritmo. Surgidos de la necesidad de ahorrar tiempo y evitar errores en los engorrosos cálculos usados por los astrónomos -tenían que realizar una ingente cantidad de multiplicaciones, divisiones y extracciones de raíces- fueron descubiertos independientes por Napier y Bürgi
terminaron convirtiéndose en una curva a la que se podía calcular su área -lo hizo Saint-Clement- y su tangente, etc. Mostramos a la derecha un ejemplar de la segunda edición de la obra de Napier Logaritmorum canonis descriptio … de 1619 que incluía una explicación detallada de como se ha de elaborar una tabla de logaritmos no incluida en a primera edición de 1614. Este incremento de nuevas curvas hizo imprescindible el desarrollar nuevos métodos para calcular tangentes. 
Uno de ellos fue el método de adigualdades de Pierre Fermat que servía además para calcular máximos y mínimos. Esto unido a sus trabajos sobre cuadraturas le hacen merecedor de un puesto de honor como precursor del cálculo. Newton en una carta descubierta en 1934 escribió en relación con sus ideas para el desarrollo del cálculo: «La indicación me la dio el método de Fermat para las tangentes. Aplicándolo a las ecuaciones abstractas directas e inversamente, yo lo hice general». Sin duda Fermat fue uno de los mejores matemáticos del siglo XVII y el mejor matemático aficionado de la historia -y no precisamente por su «larga» demostración que no entraba en el estrecho margen de la obra de Diofanto y que le ha hecho famoso fuera del círculo estrictamente matemático- por sus contribuciones importantes en casi todas las ramas de las matemáticas que emergieron en ese siglo. Mostramos aquí una foto de la portada de su Varia opera mathematica publicada póstumamente por su hijo en 1679.

Relacionado con los problemas de tangentes surgió a mediados del XVII el llamado problema inverso de tangentes, es decir, deducir una curva a partir de las propiedades de sus tangentes. El primero en plantear un problema de este tipo fue Florimond de Beaune, discípulo de Descartes, quien planteó, entre otros, el problema de encontrar la curva con subtangente constante. El propio Descartes lo intentó sin éxito siendo Leibnitz el primero en resolverlo en la la primera publicación de la historia sobre el cálculo infinitesimal. De hecho un elemento esencial para el descubrimiento del cálculo era el reconocimiento de que el problema de las tangentes y las cuadraturas eran problemas inversos, de hecho es por eso que la relación inversa entre la derivación y la integración es lo que hoy, con toda justicia y razón, llamamos Teorema fundamental del cálculo.

Pero pasemos ya al Cálculo. Newton en su célebre frase «Si he llegado a ver más lejos que otros es por que me subí a hombros de gigantes» se refiere entre otros a su maestro y mentor Isaac Barrow. Barrow fue probablemente el científico que estuvo más cerca de descubrir el cálculo. Llegó a las matemáticas en su afán de comprender la teología -de hecho se marcho de su cátedra en Cambridge, cediéndosela a Newton para continuar sus estudios teológicos-.   En la lección X de su obra Letiones opticae & geometricae Barrow demuestra su versión geométrica del Teorema fundamental del cálculo. Podemos admirar el comienzo de esa lección así como la figura 109 directamente relacionada con el teorema que Barrow explica como que el valor de la pendiente de la tangente en F a VIFI se corresponde con el segmento DE, o sea, si trazamos la tangente a la curva cuadratriz VIFI en un punto, se obtiene como pendiente para esta recta tangente el valor de la curva inicial en ese punto.
 

En el último cuarto del siglo XVII, Newton y Leibnitz, de manera independiente, sintetizaron de la maraña de métodos infinitesimales usados por sus predecesores dos conceptos, los que hoy llamamos la derivada y la integral, desarrollaron unas reglas para manipular la derivada -reglas de derivación-y mostraron que ambos conceptos eran inversos- teorema fundamental del cálculo-: acababa de nacer el cálculo infinitesimal. Para resolver todos los problemas de cuadraturas, máximos y mínimos, tangentes, centros de gravedad, etc que habían ocupado a sus predecesores bastaba echar a andar estos dos conceptos mediante sus correspondientes reglas de cálculo

El primero en descubrirlo fue Newton, pero su fobia a publicar le hizo guardar casi en secreto su descubrimiento. Newton gestó el cálculo en sus anni mirabilis (1665-1666) cuando se refugiaba en su casa materna de la epidemia de peste que asolaba Inglaterra. De hecho su primera obra  sobre el cálculo De analyse per aequationes numero terminorum infinitas -que le valió la cátedra lucasiana que dejó su maestro Barrow- fue finalizada en 1669 aunque sólo la publicó en 1711 -contémplese una foto de la portada de su primera edición donde además admiramos el cálculo del área bajo la parábola x ^m/n usando el teorema fundamental del cálculo mediante primitivas-. Nótese además la aparición de las famosas Epistola prior y Epistola posterior, sendas cartas dirigidas a Leibnitz.  En ambas Newton explica muy someramente -básicamente se centra en el teorema del binomio-, en la primera, e incomprensiblemente, en la segunda, su método de cálculo. La segunda obra de Newton sobre el cálculo fue escrita dos años más tarde en 1671 pero esperaría hasta 1737 para ver la luz !diez años después de su muerte y 66 después de escrita!. Se trata de De methodis serierum et fluxionum.  En ella Newton describe sus conceptos de fluente -es una variable en función del tiempo- y fluxión de la fluente -la derivada respecto al tiempo de la fluente- como entidades propias, con unas reglas algorítmicas de fácil uso que luego usará para resolver distintos problemas de máximos y mínimos, tangentes, cuadraturas -en relación a este último, estableció el ya mencionado Teorema fundamental del cálculo-. Para demostrar la potencia de su cálculo Newton se dedica en unas «pocas» páginas a resolver todos los problemas de cálculo de tangentes, áreas, etc que habían ocupado a sus predecesores. En la figura de la izquierda podemos admirar una página de dicho libro, abierto por la página donde Newton «destroza» la concoide de Nicómedes con su nuevo método de cálculo. Una pregunta que casi inmediatamente aflora en la mente es ¿por qué Newton tardó tanto en publicar sus resultados? A parte de su peculiar personalidad y las distintas disputas que tuvo con muchos de sus contemporáneos, Newton era consciente de la débil fundamentación lógica de su método de cálculo de fluxiones -no obstante siempre hubo copias de sus trabajos circulando entre sus amigos-. Este temor también está patente en su obra cumbre: Los Principia, donde optó por un lenguaje geométrico más riguroso -y obscuro- eliminando todo indicio de su cálculo que probablemente usó -se puede encontrar una única mención del mismo en el lema II de la sección II del libro II: la regla para derivar productos-.

Leibnitz, más conocido como filósofo, fue el otro inventor del cálculo. Su descubrimiento fue posterior al de Newton, aunque Leibnitz fue el primero en publicar el invento. Lo hizo además usando una vía ciertamente novedosa en aquella época: para facilitar la difusión de sus resultados los publicó en una de las recién creadas revistas científico filosóficas el Acta Eroditorum que el mismo había ayudado a fundar -eran ciertamente momentos importantes para la ciencia donde empezaron a aparecer las revistas científicas que permitirían luego y hasta nuestro días la difusión del conocimiento y los descubrimientos científicos-. Durante una estancia en París -ya que era un afamado diplomático- Leibnitz conoce a Huygens quien le induce a estudiar matemáticas. En 1673, luego de estudiar los tratados de Pascal, Leibnitz se convence que los problemas inversos de tangentes y los de cuadraturas eran equivalentes.  Alejándose de estos problemas, a partir de sumas y diferencias de sucesiones comienza a desarrollar toda una teoría de sumas y diferencias infinitesimales que acabarían en la gestación de su cálculo por el año 1680 y a diferencia de Newton si lo publica en las mencionadas Actas con el título «Un nuevo método para los máximos y los mínimos, así como para las tangentes, que no se detiene ante cantidades fraccionarias o irracionales, y es un singular género de cálculo para estos problemas». En este artículo de 6 páginas -e incomprensible como el mismo luego reconoce- Leibnitz recoge de manera esquemática sin demostraciones y sin ejemplos su cálculo diferencial -«un enigma más que una explicación» dijeron de él los hermanos Bernoulli-. También el él Leibnitz resuelve el ya mencionado problema de De Beaune encontrando que la solución era el logaritmo. El siguiente artículo de Leibnitz se llamó «Sobre una geometría altamente oculta y el análisis de los indivisibles e infinitos», también publicado en las Actas Eroditorum en 1686. En él aparece por primera vez la notación para la integral que todavía hoy usamos -en en primero introduce la notación «dx» para el diferencial-. Encima a la derecha podemos admirar este trabajo aunque por razones tipográficas en vez de la S alargada para la integral aparece una especie de f.

Como colofón a estas páginas y a nuestra Exposición virtual dedicaremos unas líneas a tratar la mayor de todas las disputas que ha conocido la ciencia: la prioridad de la invención del cálculo. Las suspicacias entre Newton y Leibnitz y sus respectivos seguidores, primero sobre quién había descubierto antes el cálculo y, después, sobre si uno lo había copiado del otro, acabaron estallando en un conflicto de prioridad que amargó los últimos años de ambos genios. Para comenzar diremos que la disputa fue evitable pues los métodos de ambos genios tienen importantes diferencias conceptuales que indican claramente la génesis independiente de los mismos. Newton consideraba las curvas generadas por el movimiento continuo de un punto basándose su cálculo diferencial en la medida de la variación de la misma -de su fluir- mientras que Leibnitz consideraba una curva como formada por segmentos de longitud infinitesimal cuya prolongación generaba la tangente en cada punto y de cuya geometría se obtiene la correspondiente relación entre las diferenciales. Incluso la fundamentación de ambos métodos es totalmente distinta. Si el de Newton fue resuelto totalmente mediante el concepto de límite, el de Leibnitz tuvo que esperar hasta la década 1960-70 hasta la aparición del Análisis no estándar de Abrahan Robinson. La polémica en cuestión se fraguó a finales del siglo XVII: por un lado Leibnitz no había hecho ninguna alusión al cálculo infinitesimal de Newton -que el mismo Newton le había indicado que existían en sus Epistolae-  además que en Holanda -como le aseguró Wallis- se atribuía el cálculo a Leibnitz, eso sin contar que los discípulos de Leibnitz habían publicado el primer libro sobre el cálculo: el Analyse des infiniment petits que redactó el Marquéz de L’Hospital a partir de las clases particulares que le dio Juan Bernoulli y de cuya primera edición podemos admirar una foto -nótese que no aparece el nombre de su autor por ningún sitio-.

La respuesta de los segidores de Newton no se hace esperar. Primero el propio Newton hace publicar en el tercer volumen de las obras matemáticas de Wallis -que ya vimos antes- la correspondencia cursada con Leibnitz las Epistolae prior & posterior donde este pedía a Newton le enviase resultados sobre series, luego Fatio de Duillier, amigo de Newton, acusa a Leibnitz de haber plagiado a Newton y como no, en su ya mencionada De quadratura curvarum, Newton alega «En una carta escrita a Sr. Leibnitz en 1676 y publicada por Wallis, mencionaba un método por el cual había encontrado algunos teoremas generales acerca de la cuadratura de figuras curvilíneas […] Hace años yo presté un manuscrito conteniendo tales teoremas; y habiéndome encontrado desde entonces con varias cosas copiadas de él, lo hago público en esta ocasión ». La respuesta de Leibnitz no se hizo esperar.
En una reseña del De quadratura curvarum, publicada anónimamente -aunque era fácil reconocer a su autor: Leibnitz- en 1705 en las Actas se dice «Para entender mejor este libro los siguientes hechos deben ser conocidos. Cuando una cantidad varía continuamente como, por ejemplo, una línea varía por el fluir de un punto que la describe, aquellos incrementos momentáneos son llamados diferencias […] Y por tanto ha aparecido el cálculo diferencial y su converso, el cálculo sumatorio. Los elementos de este cálculo han sido publicados por su inventor el Dr. Gottfried Wilhelm Leibnitz en estas Actas, y sus varios usos han sido mostrados por él y por los Drs. y hermanos Bernoulli y por el Dr. Marquéz de L’Hospital. En vez de las diferencias Leibnitzianas, el Dr. Newton empleó, y ha empleado siempre, fluxiones» donde queda patente la alusión a Leibnitz y sus discípulos y a Newton sin que esté claro si éste es uno de aquellos. Esta reseña fue el detonante del mayor ataque contra Leibnitz desde las Philosophical Transactions firmado por John Keill quien acusa abiertamente a Leibnitz de plagio. Tras la protesta de Leibnitz la Royal Society nombra una comisión -que resultó estar plagada de amigos de Newton- que luego de varias deliberaciones dictaminó que Newton fue el primero y no acusó a Leibnitz -aunque tampoco rectificó las duras palabras de Keill-. Esta absurda guerra duró hasta principios del siglo XIX cuando finalmente los matemáticos ingleses deciden adoptar la notación Leibnitziana -que hasta el momento habían ignorado-, con gran perjuicio para los matemáticos ingleses ya que la matemática inglesa quedó aislada del resto de la del continente.

Para cerrar 
nuestra exposición vamos a relatar, a modo de ejemplo de la gran potencia del cálculo, uno de los problemas que se resolvió gracias a la nueva herramienta descubierta por Newton y Leibnitz: el problema de la braquistocrona. El problema consistía en determinar la curva por la que un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que no estén en posición vertical u horizontal. Este problema ya interesó en su día a Galileo aunque éste fue incapaz de resolverlo -lo cual no es raro pues para resolverlo se precisaba del cálculo-. La historia es como sigue. En el número de junio de 1696 de las Actas Eroditorum, Juan Bernoulli lanzó un reto a los mejores matemáticos del mundo -este reto lo podemos ver en la foto a la izquierda de dicho artículo de Bernoulli-. En realidad era un reto encubierto a Newton. Al cabo del año -el plazo original fue de seis meses pero a petición de Leibnitz se amplió para que tuvieran tiempo los matemáticos franceses e italianos que se habían enterado tarde- aparecieron cinco soluciones: una de Leibnitz,  una del mismo Juan Bernoulli, otra de su hermano Jacobo, una del conde Walter de Tschirnhaus, del Marquéz de L’Hospital y una anónima. Todas, excepto la de L’Hospital daban con la solución: la cicloide. ¿Quién era ese autor anónimo que escogió las Philosophical Transactions para publicar su genial solución que sólo contenía 67 palabras? -la cual podemos admirar en la foto de la derecha-. Un vistazo a la solución fue suficiente para que Juan Bernulli exclamara «tanquam ex ungue leonen», algo así como «¡reconozco al león por sus garras!» pues claro está que era Newton. Años más tarde se aclaró toda la historia. Como ya dijimos el reto estaba dirigido a los matemáticos ingleses y a Newton en particular justo en el momento en que comenzaba la polémica sobre la prioridad para ver si el cálculo de Newton era tan bueno y poderoso para resolverlo. Además, en una carta de Leibnitz a Juan Bernulli éste conjetura que sólo quien conozca el cálculo podrá resolverlo -Newton entre ellos claro está-. Incluso años después, ya en plena polémica, Leibnitz en una reseña a la solución del problema afirmaba el problema no podía ser resuelto sin la ayuda de su recién inventado método que sólo aquellos que habían profundizado lo suficiente en su estudio podían resolverlo: estos eran los Bernoulli, L’Hospital y Newton. Este  juego de palabras de Leibnitz donde se podía deducir que Newton era un discípulo de suyo fue el otro gran detonante de la guerra que ya mencionamos antes de Duillier.

Como no podía ser de otra forma el reto llegó a Newton aunque por aquel entonces ya no «hacía ciencia» sino que se trabajaba en la Casa de la Moneda inglesa. Según cuenta la sobrina de Newton, este recibió el problema a las 4 de la tarde cuando regresó cansado de la Casa de la Moneda y tenía lista su solución 12 horas después -aunque lo que probablemente no sabía la sobrina era que Newton ya había pensado en ese problema unos años antes y que casi seguro lo había resuelto por lo que sólo tuvo que refrescar la memoria ese día-. Nuevamente aparece la misma pregunta: Si Newton ya había resuelto el problema ¿por qué no lo publicó? Como respuesta final a esta pregunta tomaremos la que dio Augusto de Morgan «Cada descubrimiento de Newton tenía dos aspectos. Newton tuvo que hacerlo y, luego, los demás teníamos que descubrir que él lo había hecho».

Sudoku

Sudoku

“¿Qué significa?
Su significa número en japonés, y doku se traduce por palabras como solo o soltero, de modo que el nombre del juego se traduciría como número solo o número único.

Si no le encuentra sentido a esto, imagínese que utilizáramos el nombre completo en japonés: Suji wa dokushin ni kaguri, es decir, algo así como: los número son sólo para solteros. Esto ya aclara todo, ¿no es verdad?

A principios de 2005 casi nadie conocía estos juegos, pero unos meses más tarde el periódico The times y otros rotativos británicos empezaron a publicarlos y se desató la fiebre el sudoku. Actualmente se pueden encontrar en las páginas de multitud de periódicos, existen varias publicaciones semanales especializadas y se han puesto a la venta numerosos libros sobre este pasatiempo.

El sudoku es un rompecabezas numérico que existe desde hace mucho más tiempo de lo que la gente imagina. En su actual forma, este juego consiste en una cuadrícula de 9×9 casillas, subdividida en nueve cajas de 3×3 casillas, con algunos números distribuidos aquí y allá dentro de cada caja, los cuales funcionan como pistas

Aunque se podrían usar colores, letras, figuras, se conviene en usar números para mayor claridad, lo que importa, es que sean nueve elementos diferenciados, que no se deben repetir en una misma fila, columna o subcuadrícula. Un sudoku está bien planteado si la solución es única.

La solución de un sudoku siempre es un cuadro latino, aunque el recíproco en general no es cierto ya que el sudoku establece la restricción añadida de que no se puede repetir un mismo número en una región.

El neozelandés Wayne Gould, durante una visita a Japón, vio este pasatiempo en una revista nipona y se aficionó a él. Creó un programa informático que generaba sudokus y empezó a publicarlos en Internet. A finales de 2004, se presentó en las oficinas de The times en Londres y consiguió mostrarle el juego al editor. El resto puede deducirse fácilmente.

Will Shortz, una de las máximas autoridades mundiales en juegos de ingenio y acertijos, publicó un artículo en The New York Times sobre el sudoku. Nos interesó especialmente este párrafo:

“Every puzzle craze in history has come along at an opportune time, and the same is true of sudoku. The world’s first puzzle craze, tangrams, the seven-block puzzle introduced from China around 1817, could not have been possible before significant international trade and printing. The 15 Puzzle, in 1880, and Rubik’s Cube, in the early 1980′s, involved new manufacturing processes. And crosswords required a high educational level in the general public and the ability of newspapers to produce and print crossword grids easily, which did not occur until the 1920′s. For its part, sudoku could not have become popular before the rise of personal computers.”

La sudokumanía se ha extendido como la pólvora y, tanto si el lector se pregunta en qué consiste este juego, como si se está enfrentando a sus primeros sudokus o ha probado ya a resolver alguno lo más rápidamente posible, este libro es perfecto para estos casos.

Incluye valiosos consejos sobre tácticas de resolución, 240 sudokus de diferentes niveles de dificultad y, cómo no, las soluciones.

Suponiendo que le haya entrado la fiebre del sudoku, podrá practicar en la segunda parte del libro. En la primera encontrará consejos y trucos para profundizar en este juego. ¡Tenga en cuenta que crea adicción! Asegúrese de que no tiene la comida en el fuego, pídale al viajero del asiento de alado que le avise antes de llegar a su parada y no se le olvide recoger a los niños en el colegio… ¡El sudoku es una droga dura!..”[1]

A continuación presentó un artículo que fue escrito en la revista Fortunes en el tema de negocios publicado el 17 de Octubre del 2005 por la autora Jia Lynn Yang.

“Es difícil imaginarse algo más fastidioso que un rompecabezas de números. Sin embargo, todo el mundo está pendiente del Sudoku. El juego que tuvo en ascuas a Inglaterra durante todo el año pasado ahora aparece en los principales periódicos estadounidenses y ha inspirado libros, programas de TV, programas de computadora, torneos e incontables adicciones. Este entusiasmo por un rompecabezas no se veía desde la pandemia del cubo de Rubik en 1980 o la locura de los crucigramas en 1924

El atractivo central del Sudoku es su simplicidad. Este consiste en una cuadrícula de nueve por nueve cuadrados compuesto a su vez por nueve mini cuadrículas de tres por tres. El objetivo es rellenar toda la cuadrícula de modo que cada fila, columna y minicuadrícula contengan los números del 1 al 9 una sola vez. “Esta locura debería durar unos seis meses si nos atenemos a experiencias anteriores. Sin embargo, el atractivo del Sudoku durará para siempre”, señala Will Shortz, editor del crucigrama del New York Times.

Shortz ha publicado tres libros sobre el Sudoku y piensa publicar ocho más para Navidad. Pero las imprentas tendrán mucho trabajo. Amazon.com ofrece 82 libros sobre Sudoku, y ninguno fue publicado antes de junio de este año. Pero no es solo la industria editorial. W.H. Smith, la mayor papelería de Inglaterra, vio como sus ventas de lápices se elevaron hasta 700%. La única explicación razonable: Sudoku.

El juego fue inventado en Estados Unidos a finales de los años setenta y emigró a Japón en los años ochenta. Sin embargo, la mente detrás de la popularización del Sudoku es un juez neozelandés llamado Wayne Gould, quien descubrió el juego en unas vacaciones en Tokio en 1997. Fue cuando Gould creó un programa de computación capaz de crear cuadrículas para Sudoku. Hoy en día, más de 400 periódicos de todo el mundo publican las cuadrículas generadas por el programa de Gould. Según este último, este año ganará más de US$ 1 millón gracias al Sudoku.”[2]

Este enigma ha sido muy bien aceptado por todo el mundo, haciendo que la gente en vez de gastar su tiempo en cosas no productivas. El juego ayuda a agilizar la mente y te ayuda a usar la lógica tanto en el sudoku como en problemas diarios. Las matemáticas juegan un papel muy importante en este juego ya se utilizan mucho con lógica y que todo es acerca de números.

 

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[1] Sudoku para Dummies, vol. 2, editorial norma, Andrew Heron y Edmund James

[2] Revista Fortunes, Jia Lynn Yang, Bussines Magazines, 17 octubre 2005,

Donald en el País de las Matemáticas

Donald llega al país de las matemáticas odiándolas, pero con ayuda del “espíritu de la aventura” que le irá mostrando las matemáticas de las cosas que le gustan, Donald irá adquiriendo el gusto por las matemáticas.

Donald cree que las matemáticas son para locos pero lo primero que el “espíritu de la aventura” le enseña es que sin matemáticas no puede haber música. Para poder demostrarle esto el “espíritu de la aventura” lo lleva por un viaje a través de la antigua Grecia en el tiempo de Pitágoras, el padre de las matemáticas y de la música. Cuando llegan a la antigua Grecia el “espíritu de la aventura” le enseña a Donald con un hilo de su túnica las matemáticas que existen en las notas musicales, al tensar  el hilo y tocarlo se escucha una nota, al dividirlo en dos y volverlo a tocar se obtiene el mismo tono pero 1/8 más alta y lo mismo sigue ocurriendo cuando sigues dividiendo el hilo por la mitad. Al demostrarle eso el “espíritu de la aventura” le comparte el descubrimiento de Pitágoras: la octava tiene una proporción o radio de dos a uno y mediante simples fracciones pudo obtener diferentes sonidos con una sola cuerda pero de diferente tamaño. Donald comienza a cambiar de actitud y se da cuenta de que “hay matemáticas en donde menos se piensa”. Después el “espíritu de la aventura” le enseña a Donald como fue que Pitágoras les transmitió sus conocimientos a los demás, así como el emblema que utilizaban en la mano para identificarse: un pentagrama, mismo que queda grabado en la mano de Donald y que da paso a la siguiente explicación matemática del “espíritu de la aventura”.

Cuando se desdobla un pentagrama se obtienen 4 líneas de diferentes tamaños. Las dos líneas más pequeñas formaban la tercera línea que tenia las proporciones de la famosa sección de oro. La segunda y tercera línea formaban la cuarta y se obtenía una vez más la sección aurea. Pero además le muestra que la estrella escondía varias maneras de formar el rectángulo de oro que era muy admirado por los griegos, infinidad de veces. El “espíritu de la aventura” le enseña a Donald que el rectángulo de oro era tan admirado por los griegos que podías encontrarlo muchas veces en su arquitectura y en su escultura así como en la pintura, arquitectura y otros tipos de arte de otros lugares. Después de eso el “espíritu de la aventura” le enseña a Donald que en la naturaleza también hay especies como las estrellas de mar y algunas flores que pertenecen a la sociedad pitagórica pues con su forma se puede obtener el pentagrama o algún otro tipo de lógica matemática “todo esta regido por números y formas matemáticas” diría Pitágoras.  

El paseo de Donald se extiende un poco mas pero todo con el mismo propósito, darle a conocer que la vida está rodeada de matemáticas desde la antigüedad y hasta nuestros tiempos. Este tipo de caricaturas hacen que los niños a través de una entretenida aventura adquieran el gusto por las matemáticas y en vez de odiarlas y verlas como algo difícil se irán acostumbrando a la idea de que a cualquier lugar que vayan y en cualquier cosa que hagan, podrán encontrar matemáticas y esto les facilitara el aprendizaje.

Referencias:

 YouTube. (12 de 02 de 2011). Recuperado el 27 de 10 de 2011, de YouTube: http://www.youtube.com/watch?v=l-PSF6shTAo

YouTube. (14 de 04 de 2011). Recuperado el 27 de 10 de 2011, de YouTube: http://www.youtube.com/watch?v=jZjYLbZh_mo

Las matemáticas y la arquitectura.

La arquitectura sin las matemáticas no serían imaginables ya que están estrechamente relacionadas, una depende de la otra. Y es así como todo lo que conocemos toma forma y se vuelve realidad, nuestras cosas, muebles, automoviles todo ha sido hechos con formulas y números.

Todos nos podemos imaginar que, antes de poner manos a la obra, el arquitecto tiene que comprobar que la estructura que quiere construir es realizable teniendo en cuenta la resistencia de los materiales que empleará, las cargas que tienen que soportar y quizás también el coste económico. Sin embargo parece que esta aplicación se reduce sólo a esto, al cálculo de estabilidades, de tensiones, etc., pero de ninguna forma al diseño del objeto arquitectónico mismo. Pensamos, y es bien cierto, que con respecto a la creación artística, el arquitecto aparta de su mesa de trabajo las matemáticas y deja volar la imaginación en la búsqueda de la forma deseada.

Bueno esto no es solo asi, lo que quizás resulta desconocido es que las matemáticas también pueden ayudar, y de hecho lo hacen, si no en el mismo momento mágico de creación artística, sí en el inmediatamente posterior. “Toda creación arquitectónica es geometría’’. Desde siempre, los arquitectos han aprovechado superficies de las que pueden calificarse de clásicas y las combinaban acertadamente.

Y en nuestros días, también lo continúan haciendo. Una nueva teoría, la de las superficies de Bézier y sus generalizaciones, engendrada a principios de la década de los 60 en varias empresas automovilísticas y de construcción aeronáutica, permite ayudar al arquitecto a diseñar superficies de manera arbitraria con sencillez y elegancia. Permitidme que os intente explicar cómo ha aprovechado la arquitectura en el último siglo no sólo las técnicas matemáticas, sino también las ideas.

Las curvas cónicas (la elipse, la parábola y la hipérbole) son para la dimensión dos, en dimensión tres lo son las superficies cuádricas. Los nombres de estas superficies tienen que ver con las curvas que aparecen como secciones con planos.

Sin embargo la propiedad realmente importante,  es el hecho de que el paraboloide hiperbólico, aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva.

Gaudí utilizó el paraboloide hiperbólico y también otras superficies doblemente regladas como el hiperboloide de revolución. Quien mostró una maestría sublime en su utilización fue el arquitecto de origen español, exiliado a México y después nacionalizado norteamericano, Félix Candela. El mejor ejemplo se puede encontrar en el restaurante: Los Manantiales del parque de Choximilco en la ciudad de México. El techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos.

Las matematicas en la arquitectura

Mi tema se inicia en Egipto Nación de la geometría mediterránea, se dice que en mesopotamia aparece un matíz abstracto que podriamos decir que procede del álgebra En Egipto se conocia ya el “teorema de Pitágoras” debido a la importancia de sus tumbas y templos dividido por medio de nudos lo que les daba exactamente la dirección Este-Oeste usaban tambien los circulos, los polígonos ya que eran muy exactos en medidas y proporciones en sus tumbas, segun las estatura del faraón y la reina fallecidos tomando en cuenta que les ponían sus pertenencias haciendo los ataúdes en forma de pentágono. Hablando de sus pirámides ponemos como ejemplo la cámara del rey en la pirámide de Keops que tiene como base el cuadro doble, se basaron en el número 4 como magnitud, es decir la presencia de encuadramientos que le podríamos llamar “presencia irracional”.Usaban mucho el teorema de Pitágoras por lo cual aparece en todas las figuras pentagonales y poliedros con caras poligonales desde 5, 10, etc lados.

La sección áurea (según Leonardo da Vinci) es la segunda joya de la geometría, la primera es el teorema de Pitágoras con base en la razón áurea podemos decír que las flores y el cuerpo humano tienen una disposición folicular mientras la materia inerte se ordena en sistemas tipo cúbico y hexagonal.

El pentagráma (pentágono estrellado), se produjo por las tecnicas ocultas de los Arquitectos, continuando con la logia masónica que veneraba en los altares la letra G (geometría).

Otro de los Arquitectos fue Vitruvio pero él no hizo grandes aportaciones a la arquitectura, pero si hizo una recopilación de siglos anteriores a él cuestionando la sinfonía perfecta del cuerpo humano y deduciendo según su teoría que el Arquitecto debe establecer en los planos de los Edificios Sagrados, una sinfonía perfecta.

Eudoxio de Cnido heredero directo del sistema de “Platón” entendía sin embargo que las proporciones racionales que se expresan por números y otros que se representan por líneas o juego de proporciones de la simetría lo cual lo copió de “Euclides”. En Grecia y en el Oriente Helénico existían técnicos de la construcción que aún despues de que “Constantino” estableciera el culto Cristiano, mantenían en secreto las técnicas transmitidas de padres a hijos y asi aparecen los símbolos y trazados geométricos de la escuela pitagórica y todo lo concerniente a la proporción áurea a travéz del Imperio de Carlomagno, (Epoca de las grandes construcciones religiosas). Estos monjes nos transmitieron los textos matemáticos de la antigüedad bizantina incluyendo “el tratado de Vitruvio”.

Los Arquitectos Arabes aportaron fórmulas arquitectónicas que evolucionaron en la Cuenca del mediterránea, en la misma Epoca de las Cruzadas bajo la influencia Helenística, Persa y Egipcia, fue entónces cuando los Arquitectos y los Maestros Constructores se agruparon en Sociedades casi secretas y construyeron el Sacro Imperio Germánico que persistió hasta el siglo XVII, usaban el tallado de la piedra cuyo primer gran Maestro fué el Arquitecto de la Catedral de Estamburgo: Erwin de Stunbach, los cuales funcionaron en toda Europa, siendo de todos ellos la geometría una ciencia fundamental la cual se hace evidente en los “signos lapidarios” que aparecen en todas las construcciones Góticas y Romanas y que son pequeños tratados de geometría lo cual constituía una marca ó firma.

La Ciencia matemática, cuyos principios sirven como guía de todas las Ciencias, Artes, Pintura, Escultura y Arquitectura. La perspectiva matemática es una garantía en la perfección estética usando el compás y la regla.

El álgebra, la geometría y la aritmética se apoyan en Euclides y sobre todo en los escritos de Leonardo de Pisa, considerado el mas grande matemático de la Edad Media, que introdujo en el Occidente Cristiano el cálculo aritmético árabe.

La rectitud moral y el deseo de renovarse llevaron a Pacioli ala exaltación del ángulo recto del cual se decía no era posible distinguír el bien del mal. La Arquitectura debe reflejar la estructura matemática del Universo y la belleza es punto obligado en el arte.

En la Arquitectura del Renacimiento el atractivo de la divina proporción era una especie mas bien intelectual y fué hasta el siglo XIX que se renovó el interés por el estudio de las proporciones irracionales, cuando la seccion áurea fue de nuevo pieza clave en las especulaciones artísticas.

El panteón Romano, y el altar mayor de Santa María de Gracia en Millán están inspirados en el Poludro de 72 caras aunque no nos consta literalmente éste hecho.

Miguel Angel se identificaba con los techos esféricos como su Capilla Medici, identificándose con el Maestro Pasioli.

En la antiguedad se detectó un problema: Las construcciones debían transmir y proyectar placer estético por su armonía al observador, esa sensación se debía persibír en el espíritu pero no así si el edificio se percibe desde uan posición anormal,por ejemplo muy cerca pues el ojo observa los edificios vertical u horizontalmente, todo esto a dado lugar a grandes estudios matemáticos llamados correcciones ópticas que se inicia en Grecia desde Vitruvio utilizándo soluciones matemáticas como arcos y parábolas, viene una ayuda inesperada a mitad del siglo XVI que se llama logística spaciosa gracias a Francois Viete y con el da comienzo lo que hoy llamamos Algebra

Conclusión:

Mi conclusión acerca de las matemáticas en la Arquitectura de Egipto a la Edad Media es como se avanzó hasta los tiempos modernos en que el Arquitecto se dedica a hacer los planos y el constructor realiza fidedignamente el trabajo de la construccion y el criterio es aceptado al fín.

 

Este es un breve video acerca de esto:

http://www.youtube.com/watch?v=as4edAwJwUU

El código Givenchy y las matemáticas

 

Las matemáticas están en todo nuestro alrededor desde cosas obvias como la arquitectura y la ingeniería hasta en cosas que ni nos imaginamos como películas y libros. Yo nunca me había puesto a pensar en que las matemáticas están presentes en estas cosas hasta que lo menciono la miss.

Hace tiempo leí un libro llamado el código Givenchy este libro trata de una joven llamada Melanie Prescott ella pasea perros por la ciudad de Nueva York para ganar algún dinero extra y un día un desconocido le entrega un sobre que dice: “Juega o muere”. Ella  se ve atrapada en un juego donde la apuesta es su vida. Lynx, el asesino le manda pistas que ella tiene que ir resolviendo basándose en matemáticas e historia para poder ganar el juego. Ella tiene un protector llamado Stryker, un ex marine que al igual que Melanie recibió un sobre embarcándolo en esta misión de vida o muerte. Con el que deberá descifrar las claves que les permitan llegar al final del juego antes de que Lynx los asesine.

Este libro es uno de mis favoritos y es impresionante como nunca antes me había percatado de su alto contenido de matemáticas. En varias ocasiones las pistas requieren que Melanie sume coordenadas, utilice ecuaciones y muchas otras cosas relacionadas a este tema.

La autora del libro es Julie Kenner ella es una escritora americana, que estudió Radio y Televisión en la Universidad de Texas antes de terminar sus estudios de derecho. Tras varios años de ejercicio legal, comenzó a escribir sus primeras novelas de tipo romántico con grandes dosis de fantasía y elementos paranormales. Siempre pensé, tras haber leído varios de sus libros, que Kenner había estudiado algo relacionado con las ciencias, la historia o las matemáticas. A mayoría de sus libros tienen mucho contenido acerca de estos temas. Así que por lo visto Kenner es una persona muy inteligente y con gusto por las matemáticas.

En el caso de este libro creo que los acertijos que tienen que ver con números son los mas entretenidos ya que entretienen mas al lector porque el mismo intenta resolverlos y son algo complicados.

Este libro me hizo darme cuenta de cómo son necesarias las matemáticas no van a salvar tu vida como en este caso pero si son fundamentales para la vida diaria. De solo pensar que Melanie no hubiera tenido los conocimientos de las matemáticas ella estaría muerta. Pero eso no nos va a pasar a nosotros ya que es un libro de ficción pero como nutriólogas es muy importante dominarlas ya que son necesarias para saber las equivalencias al crear una dieta o muchos otros aspectos de la nutrición.

En conclusión las matemáticas están en todo el mundo y siempre van a estar ahí así que es bueno saber aunque sea un poco de ellas porque siempre son útiles hasta en cosas tan simples como realizar una compra y checar si te entregan bien el cambio o jugar cartas con tus amigos se requieren las matemáticas para llevar la puntuación. Disfruten las matemáticas pueden salvar su vida como en el caso de Melanie.

http://www.juliekenner.com/julie.php

http://www.barnesandnoble.com/w/givenchy-code-julie-kenner/1100317531?ean=9781416543374&itm=26&usri=julie%2bkenner#Details

Matemáticas en relación con el Área de conocimiento de Diseño

Esta área estudia las complejidades que tienen las relaciones abarcando desde los seres vivos, como los productos, procesos, servicios, determinado por factores culturales, ecológicos, políticos, productivos, económicos, etc. Estudia las diversidades de soluciones de diseño. Para poder llegar a estas diversidades, necesita procesos creativos, y aquí es donde entra la matemática, ya que son procedimientos que agilizan la mente, y pueden facilitar las soluciones. Se puede pensar que la creatividad artística no tiene que ver con el pensamiento matemático, pero se ha estudiado y se ha encontrado una conexión necesaria entre diseño y las matemáticas. Los instrumentos que más utiliza la matemática son la regla y el compás, y también son utilizados en esta área. Existe un método de ensayo y error, que es de los chimpancés y este es utilizado en diseño, debido al tanteo, la prueba y el error. Diseño trata los problemas como individuales. En la matemática, el estudio en el Teorema de pascal, da formación a los estudiantes en diseño industrial. Los diseñadores se orientan a las formas, en especial las redondas, para poder precisar sus propiedades mediante el control numérico de la maquina. Cuando se encuentran en procesos creativos, se topan con la representación bidimensional de formas contorneadas, y ellos recurren a la percepción visual. El diseño industrial por ejemplo, utiliza mucho los dibujos pictóricos de formas, y estos recurren a modelos tridimensionales a diversas escalas. El método de la estereolitografia, son medios de producción que parten de un dibujo, y este se pasa en computadora para la producción directa del modelo y se transmite a un dispositivo laser, pero dicho método, necesita de información precisa para su realización, y la forma más precisa, es a través de métodos matemáticos.  El teorema de pascal permite matematiciar las formas que producen los diseñadores como las escultóricas que tengan tanta carga simbólica. Este teorema de Pascal, da la capacidad de poder racionalizar trazos inconscientes de los diseñadores, y les permite que pongan en obra las ideas de los creativos, para que les dé información unívoca sobre lo que deben hacer, y como, para tener la solución deseada. Cuando la curva es cónica, entonces esta matematiciada, y es unívoca. Las formas cónicas son la elipse, circulo, parábola, y la hipérbola.

“La topología es una rama de la matemática que trata de las propiedades de posición que son variantes por cambios de tamaño o forma. La topología está llena de paradojas aparentes e imposibilidades”(Trucker, Bailey).

El estudio de las transformaciones de la topología sobre las superficies, se considera que debería de ser una de las disciplinas en la carrera de Diseño para su estudio.

Las formas creadas en diseño, están compuestas de de formas elementales, y debido a las transformaciones, adiciones, literaciones etc., permite poder crear unas más complejas.

Dado todo esto que acabamos de ver anteriormente, nos da una idea amplia y clara, de la importancia que tiene la matemática en el diseño, dado que para poder diseñar, tiene que haber creatividad, y no solo eso; también tiene que haber una gran capacidad para poder desarrollar dibujos, figuras bidimensionales y tridimensionales, saber utilizar los métodos matemáticos para poder llegar a una solución precisa, etc. Para mí las matemáticas son una forma de hacer que la mente despierte, reaccione y sea capaz de agilizarse, logrando así, que nuestra forma de pensar sea más amplia, compleja, y que al toparnos con dificultades, encontremos soluciones posibles más concretas, pero también, al agilizar la mente, podemos hacer que nuestro nivel de creatividad también aumente.  Como al principio lo mencione, diseño, estudia también procesos, muchos factores, que aunque se desee huir de las matemáticas, son necesarias para hallar su solución.

                            

 

 

*»Teoría del diseño II: enfocar, requisitar» Escrito por Fernando Rovalo López de Linares,Universidad Iberoamericana Ciudad de México

 

*»Notas de clase cinco. Arrugar, plegar, doblar»  Escrito por Camilo Ospina Castantildeda

Las Matemáticas en relación con la Arquitectura

La Arquitectura pertenece al área de físico- matemáticas y desde ahí se percibe que las matemáticas son de gran uso en esta área. El objetivo principal de la Arquitectura es el construir las formas volumétricas que ordenan los espacios en que se desarrollan las funciones de la vida humana, y para ello, usa la geometría euclídea pero no a nivel funcional o constructivo, sino estético desde el minimalismo actual hasta las proporciones clásicas.
Este tipo de geometría, propone una nueva relación de la arquitectura con otras geometrías. Se disertó sobre las matemáticas de geometrías distintas a la euclídea, llamándose geometría visual o proyectiva. Se propone también como parte de la geometría pre-euclídea, los cálculos abstractos, con números infinitos y sobre todo los «no dibujables».  La arquitectura se  define como arte que se mueve o que debe moverse en la cualidad, la intuición, de la figuración y de la sensibilidad geométrica.

“Gracias a las Matemáticas el arquitecto tiene hoy día más libertad de diseño”

Las matemáticas tienen una gran aplicación directa en arquitectura. Porque antes de poner manos a la obra, el arquitecto tiene que comprobar que la estructura que quiere construir es realizable teniendo en cuenta la resistencia de los materiales que empleará, las cargas que tienen que soportar y quizás también el coste económico, parece que esta aplicación se reduce sólo a esto, al cálculo de estabilidades, de tensiones, etc., pero de ninguna forma al diseño del objeto arquitectónico mismo. Pensamos que con respecto a la creación artística, el arquitecto aparta de su mesa de trabajo las matemáticas y deja volar la imaginación en la búsqueda de la forma deseada, y  no es exactamente así. Las matemáticas también pueden ayudar, si no en el mismo momento mágico de creación artística, sí en el inmediatamente posterior. “Toda creación arquitectónica es geometría’’ es una máxima que se puede encontrar en los tratados de geometría descriptiva. Los arquitectos siempre aprovechan superficies de las que pueden calificarse de clásicas y las combinaban acertadamente. Y en nuestros días, también lo continúan haciendo.

Una de las superficies que más se han aplicado en arquitectura es la paraboloide hiperbólico. El paraboloide hiperbólico es un espécimen ya conocido por los griegos en donde las curvas cónicas (la elipse, la parábola y la hipérbole) son para la dimensión dos, en dimensión tres lo son las superficies cuádricas. Los nombres de estas superficies tienen que ver con las curvas que aparecen como secciones con planos. En el paraboloide hiperbólico, una de las superficies cuádricas, estas secciones son parábolas y hipérbolas. El mejor ejemplo se puede encontrar en el restaurante “Los Manantiales” (1958) del parque de Choximilco en la ciudad de México. El techo está formado por ocho paraboloides hiperbólicos.Las matemáticas a través de dimensiones y formas completan el diseño de un edificio y le confieren una belleza aceptada universalmente y Arquitectónicamente.

Las Matemáticas se encuentran presentes en las plantas y elementos decorativos de los edificios que nos rodean. Basta con situarnos delante de uno de ellos y contemplarlo con detenimiento, para observar que el orden que se refleja en su imagen arquitectónica está íntimamente relacionado con la inserción en el mismo de figuras geométricas, y con la existencia de relaciones entre los elementos de éstas, de forma que la composición arquitectónica está estrechamente ligada a las matemáticas, y a la geometría. Saber ver la arquitectura es, en cierto modo, descubrir en ella la perfección que le confiere su diseño geométrico y su ordenamiento matemático.

 

Este video esta relacionado con este tema y me gusto mucho y me llamo mucho la atencion.

http://www.youtube.com/watch?v=4Wq8w251o7k

 

 

Una mente brillante

Además de mostrarnos las matemáticas como una materia, podemos ver como son aplicadas en la vida cotidiana. Nos muestra como es que, aunque las matemáticas no es la única cosa en la que nos debemos de concertar en nuestra vida, son necesarias, ya que las podemos aplicar en cualquier situación de nuestra vida cotidiana.

Podemos ver que lo aplicamos en cualquier situación, por ejemplo: muestra como realiza diferentes cálculos, uno lo había hecho para un equipo jugando futbol americano, otro para algunas palomas que se encuentran comiendo migajas de pan y uno más para una señora que persigue a un ladrón que se robo su bolso. También nos menciona que podemos utilizarlas para poder encontrar una solución adecuada a algún juego de mesa.

Además podemos ver que de una serie de números (códigos) podemos encontrar o sacar coordenadas para ubicar ciertos puntos en un plano o un mapa. A partir de ciertos documentos que contienen información que se relaciona con el tema que está investigando, de ciertos textos se pueden sacar distintas palabras o cosas que ayudan encontrar códigos los cuales puedes utilizar para localizar algún punto u obtener información importante.

Y no solo podemos encontrar distintos cálculos a problemas, si no que podemos buscar una nueva solución a problemas que ya han sido resueltos o buscar una solución a aquellos problemas que no han sido resueltos y quedan únicamente con la incógnita.

Las matemáticas nos permiten encontrarle soluciones a los problemas que anteriormente no las tenían o que no se habían resuelto, dentro de esto es necesario saber que siempre que quieres obtener un resultado debes buscar la manera adecuada para resolverlos. Esto nos hace ver que en algunos casos las matemáticas son fundamentales en la vida de algunas personas, esto es dependiendo de las labores o actividades que éstas realizan.

Aquí podemos ver que cuando una persona se dedica de lleno al estudio de las matemáticas, es muy probable que las encuentre como una pieza fundamental e indispensables en su vida y tratara de encontrar soluciones a distintos problemas que no cualquier persona se cuestiona y que aunque sea una situación común se puede resolver de esta forma. Además, que es fundamental que te sigas preparando y renovando tus conocimientos sobre esta materia para poder seguir obteniendo los resultados buscados. De esta forma cuando te dedicas a esto lo mejor es que tus investigaciones sean reconocidas y que en este caso te nominen para un premio nobel.

En conclusión, las matemáticas son necesarias para cualquier persona porque aunque no te dediques al estudio profundo de estas, te vas a encontrar con diferentes situaciones en donde las necesitas y en donde son de gran utilidad para encontrarle la solución adecuada a estas situaciones.

En cualquier momento y en cualquier situación que se te presente, pueden ser de gran utilidad las matemáticas y es necesario que tengas el conocimiento adecuado para poder aplicarlas; por eso es importante que todos conozcan de  esta materia porque son necesarias para cualquier persona.

Matemáticas y cine

Película 21 Blackjack

La película trata sobre un joven superdotado llamado Ben Campbell que asiste al college M.I.T. en Boston, Massachusetts. Su sueño es entrar a medicina en Hardvard. En una de sus clases conoce al profesor experto en estadísticas Micky Rosa, quien se da cuenta que es un genio para matemáticas ya que Ben fue el único de la clase que pudo resolver un problema sobre probabilidad, lo invita a un grupo secreto. El grupo secreto es un equipo de estudiantes que son los mas brillantes de la escuela y son dirigidos por el profesor Rosa que estudian el juego “Blackjack” y cuentan las cartas para asegurarse de obtener el 21, Ben acepta entrar ya que el dinero que obtenga será para pagar las colegiaturas de Hardvard. Practican y esto se lleva a cabo en la ciudad de Las Vegas.

La película nos muestra la relación que tienen las matemáticas con diferentes situaciones de la vida.  La base de la trama de la película para mi punto de vista, son las matemáticas porque el sistema que utilizan es realizado gracias a ellas y Ben junto con los demás integrantes del equipo no habrían podido lograr ganar el dinero que tienen.

Aplicar las matemáticas en nuestra vida puede ser de gran ayuda incluso si hablamos de “azar” como lo sería en este caso el tema de esta película: Blackjack. El azar es la probabilidad de que algo suceda ante una situación de incertidumbre o no hay certeza. Aunque con el sistema de conteo que utiliza este equipo de estudiantes logran que el “azar” no influya en este juego.

En la película aparecen algunos temas matemáticos, como el método Newton-Raphson. En la clase están viendo el tratado sobre fluxiones de Newton, que fue publicado en 1736. El tratado sobre fluxiones de Newton solo fue aplicado a polinomios. Pero Ben dice que este método fue planteado 50 años antes por Raphson en un libro llamado Analysis aequationum universalis que fue publicado en 1690.

Otro de los temas es el problema “Monty-Hall” que es un problema de probabilidad. En este caso el profesor Rosa le da a elegir a Ben 3 puertas, Ben escoge la primera puerta, y el profesor Rosa “destapa” la tercera, entonces le pregunta si desea cambiar de opinión, y Ben dice que si al haber ya realizado un razonamiento de probabilidad.

Otro es la sucesión de Fibonacci, escrita por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XII.

Ben realiza sumas y saca el total a pagar de unos clientes que llegan a comprar a la tienda donde el trabaja. Lo hace rápida y mentalmente utilizando porcentajes.

Dirección: Robert Luketic

País: USA.

Año: 2008
Duración: 123 min.
Interpretación:

• Jim Sturgess es Ben Campbell, el protagonista, un estudiante del Instituto Tecnológico de Massachusetts
• Kevin Spacey es Mickey Rosa, profesor de matemáticas y un corrupto líder del equipo de blackjack
• Kate Bosworth es Jill Taylor, miembro del equipo de blackjack
• Laurence Fishburne es Cole Williams, un agente de seguridad del casino, quien se convierte en el principal enemigo del equipo de blackjack
• Aaron Yoo es Choi, miembro del equipo de blackjack
• Liza Lapira es Kianna, otra integrante del equipo de blackjack
• Josh Gad es Miles Connolly
• Sam Golzari es un estudiante de Instituto Tecnológico de Massachusetts
• Jacob Pitts es Fisher, otro miembro. Basado en Mike Aponte.
• Jack McGee es Terry

Producción: Dana Brunetti, Kevin Spacey y Michael de Luca

Música: David Sardy

Fotografía: Russell Carpenter

Guión: Peter L. Steinfeld y Allan Loeb